为了找到函数$f(x) = |2x-1| - 2\ln x$的最小值，我们首先需要考虑绝对值函数$|2x-1|$的不同情况。绝对值函数会根据内部表达式的符号分为两种情况：当$2x-1 \geq 0$时和当$2x-1 < 0$时。

### 当$2x-1 \geq 0$时

这意味着$x \geq \frac{1}{2}$。在这种情况下，函数简化为：
$$f(x) = (2x-1) - 2\ln x$$

对上述函数求导以找到极值点：
$$f'(x) = 2 - \frac{2}{x}$$

令$f'(x) = 0$解得$x=1$。由于$x \geq \frac{1}{2}$，$x=1$在这个区间内，因此我们需要检查这个点是否是极小值点。进一步检查二阶导数：
$$f''(x) = \frac{2}{x^2} > 0$$
对于所有$x > 0$，这表明$f(x)$在$x=1$处有一个局部最小值。

### 当$2x-1 < 0$时

这意味着$x < \frac{1}{2}$。在这种情况下，函数变为：
$$f(x) = -(2x-1) - 2\ln x = -2x + 1 - 2\ln x$$

对上述函数求导以找到极值点：
$$f'(x) = -2 - \frac{2}{x}$$

注意到，对于所有$x > 0$，$f'(x) < 0$，这意味着在这个区间内函数$f(x)$是单调递减的。因此，在$x < \frac{1}{2}$的范围内，函数没有极小值，但是随着$x$接近$\frac{1}{2}$，函数值趋向于某个有限值。

### 综合分析

从上面的分析中，我们可以看出函数在$x=\frac{1}{2}$处从一个定义域过渡到另一个定义域。然而，我们已经确定了在$x=1$时有一个局部最小值。计算$f(1)$的值来确定这是不是全局最小值：
$$f(1) = |2*1-1| - 2\ln(1) = 1 - 0 = 1$$

考虑到当$x$接近$\frac{1}{2}$时，左侧定义的函数形式，我们可以看到$f(x)$趋向于正无穷大（因为$-2\ln x$在$x$接近$0$时趋向于正无穷大）。因此，$f(1)=1$确实代表了整个函数的最小值。

综上所述，函数$f(x) = |2x-1| - 2\ln x$的最小值为$1$。