1694年，一场小小的数学争论在英国剑桥悄然展开。
“在3维空间中，最多能有多少个同样大小的球体同时与一个中心球相接触而又彼此不重叠？”苏格兰数学家大卫·格雷戈里（David Gregory）抛出了这个问题。当时他与牛顿（Isaac Newton）正在讨论天体运动的问题——比如，不同的行星如何围绕太阳分布。
牛顿的回答很干脆：“12个，不能再多。”也就是说，在3维空间中，最多只能有12个球与中心球保持接触而又不重叠，第13个球无论如何都挤不进去。格雷戈里虽然一向推崇牛顿，但这次却提出了异议。他怀疑也许可以“偷偷塞进”第13个球，因为空余面积加起来甚至“足够塞进”2个。
由于当时还没有严谨的数学工具来处理这个问题，两人的争论陷入僵局。这个问题后来被称为“接吻数问题”（kissing number problem），源于英文中形象的kissing一词：每个球都像在“亲吻”中心的球。
但这只是开始。随着数学的发展，接吻数问题被推广到更高维度空间。比如在4维、8维、甚至24维空间中，其他球体如何“亲吻”中心球？最多能放下多少个？这些问题不只是困扰数学家的难题，还深深牵连着物理、信息论、材料科学等诸多领域。
而就在最近，接吻数问题迎来了一个震动学界的转折点：Google DeepMind新发布的人工智能系统 AlphaEvolve将11维空间中接吻数的下界从592提高到593。虽然只是“小小”一步，但是跨越的是让整个数学界努力了多年都未能突破的“防线”。这一成就，也切实地挑战了大型语言模型无法做出原创科学贡献的观点。
从牛顿时代的宇宙天体构想，到人工智能在抽象空间中的数学探索，接吻数问题正书写着数学与科技交织的新篇章。接下来，我们将一同探访这个跨越三百年历史的几何谜题，看看接吻数究竟是什么？它为何如此难解，又为何如此重要？
NO.1
一道关于构造+排除的数学难题
接吻数问题可以看作是一种空间思维的挑战，其正式陈述是：
“在n维欧几里得空间中，一个中心球体周围最多可以放置多少个同等大小的球体，使得这些球体都与中心球体恰好接触（相切），但是彼此之间不重叠。”
它的答案，称为该维度下的接吻数（kissing number），也叫牛顿数、接触数。
当时牛顿并不想就这个问题展开研究，因为他正濒临失业，身体状况也不好，但后世仍以“牛顿数”命名了这一问题。
在低维空间，接吻数问题可以被简化为“几何拼图”游戏。
例如针对1维空间，可以想象是在一个线段的中间放一个单位球体，两边就只能各放一个同样大小的球体，从而得到的接吻数是2。
K(1) = 2
在2维空间，像是在台球桌上做排列，最多能有6个台球围绕中间1个，所以接吻数是6。
K(2) = 6
3维，也就是牛顿他们争论的问题，足足等待了250多年，直到1953年，德国数学家舒特（Kurt Schütte）与荷兰数学家范德瓦尔登（Bartel Leendert van der Waerden）才首次证明牛顿是对的。他们将3维问题转化为球面上的几何问题，证明了在3维空间中第13个球不可能与中心球相切而又不与其它球重叠。
K(3) = 12
3维空间接吻数为何是12？
舒特与范德瓦尔登采用了一种排除法：他们分析了所有可能出现的13球排列，逐个计算每两个球心之间的夹角，证明在所有可能构型中，第13个球总会与已有的球发生重叠，违反“互不相交”的条件。
这个问题的最佳构造是正二十面体的顶点分布，正好包含12个点满足条件。如果想要尝试放第13个点的构型，会导致夹角小于60°，违背不重叠条件。
因此，3维空间的接吻数为：K(3)=12
然而，当问题一旦进入4维及以上，人类的直觉就不再管用了。不仅空间会变得难以想象，球之间的角度、间距、对称性也不像低维空间那样直观。这时，接吻数不再是“能不能多放一个”的问题，而变成了一个关于构造+排除的问题：
给定中心球，如何安排外围球使它们互不重叠又都与中心球相切，并且还要在这些所有可能的排布中找到球数最多的那一种。
想要穷尽所有的构造方案几乎不可能，而要证明“没有更好的构造”则更难——这正是高维接吻数问题的挑战所在。
NO.2
从几何直觉到高维突破
在探索高维接吻数问题的过程中，每增加一个维度，球体的排列方式将会呈指数级增长，所以至今只有少数几个维度得到了精确的解答。
早在20世纪中期，数学家就猜测4维空间的接吻数为24，但这个问题直到2003年才被彻底解决。
这一突破由俄罗斯数学家奥列格·穆辛（Oleg Musin）完成。他基于菲利普·德尔萨特（Philippe Delsarte）在1970年代发展的线性规划方法，通过分析球体排列的对称性，并结合球面调和分析，严格证明了4维空间的接吻数为24。
线性规划方法（linear programming bounds）
最初，菲利普·德尔萨特是在研究编码理论时发展出这一方法。他发现，某些组合优化的问题——比如如何最大化非重叠点集的密度——可以通过构造特定函数的不等式条件，转化为线性规划问题。简而言之，他提供了一种从“函数空间”的角度，限制球体在空间中密集排列的理论上界限。
后来，这种方法被应用到接吻数问题中。即使在各个维度找不到最优构型，也可以先证明“多过某个数就不可能”，即估算接吻数的“上界”（Upper Bound）。
另外，再利用格子理论（lattice）、球面码（spherical codes）等构造法，又能估算接吻数的“下界”（Lower Bound），如下表所示（其中下界和上界一致的情况，是已经被证明的接吻数）
理论上，每个维度都能计算出接吻数的上界和下界，但实际计算出的界限质量（即紧致程度）差异巨大，且部分维度的界限可能非常宽泛，所以还有机会进一步缩小。
从上表可以看出，8维和24维问题也已经被证明了。这是因为这两个维度空间的对称性极高，是构造最优球体堆积的天然选择。
在8维空间中，很早就发现E8lattice是最优的球体密集堆积方式，但一直缺乏严格的数学证明。2016年，乌克兰数学家玛丽娜·维亚佐夫斯卡（Maryna Viazovska）通过构造一种特殊的傅里叶插值函数，证明了“在球体堆积问题中，E8lattice是8维空间最密集的堆积方式”。而接吻数问题作为球体堆积问题的“局部极限”情形，使得接吻数的上界值可以直接使用堆积密度的计算方法，从而确认了8维空间的接吻数是240。
随后，美国数学家亨利·科恩（Henry Cohn）与她联系，建议将其方法扩展到同样“特殊”的24维。不久以后，他们合作证明了Leech lattice是24维空间中最密集的球体堆积结构，从而确认24维空间的接吻数为196560。
因其在8维和24维空间关于球体堆积问题的研究成果，玛丽娜·维亚佐夫斯卡于2022年被授予了菲尔兹奖，成为历史上第二位获此殊荣的女性。值得注意的是，球体堆积问题和接吻数问题并不是同一个问题，但它们之间有着密切的联系。
由于这种方法高度依赖于对称性，对于那些对称性较弱的维度（如5、6、7维等），计算最大接吻数变得极其困难。截至目前，K(4) =24、K(8) =240、K(24) =196560是仅有的三个已被严格证明的高维接吻数。
不过近年来，数学界又取得了一些渐进式成果，突破者还是一位华裔博士生Anqi Li。2022年以来，她在导师亨利·科恩——就是那位和维亚佐夫斯卡合作解决了24维接吻数问题的美国数学家——的指导下，通过翻转坐标符号（奇偶性调整），构造出非对称的球体排布，改进了17维到21维的接吻数下界。例如17维空间中的接吻数下界，Anqi Li在1967年约翰·利奇的估值上增加了384个新球体，达到5730。
Anqi Li在麻省理工学院（MIT）读本科时就开始研究接吻问题。她的硕士是在剑桥大学三一学院完成，目前是斯坦福大学在读博士。
这项工作标志着自20世纪60年代以来的首次进展。虽然相关成果距离最终答案还有一定距离，但是就连解决了4维接吻数问题的穆辛也对此赞扬道：“他们提出了一些不同的东西。”
而就在最近，Google DeepMind的人工智能系统AlphaEvolve也对接吻数问题做出了新的推进：将11维空间中已知的接吻数下界从592提升至593。
考虑到11维空间接吻数的上限是868，未来人工智能的探索空间仍然很大。这项突破也预示着人工智能或将成为未来数学研究的新型工具。
NO.3
见证数学演进的奇妙历程
时至今日，接吻数问题并非只是抽象的几何难题，它已成为离散几何和编码理论的核心问题之一。球体如何紧密排列，与通信工程中的问题——信号如何以最远距离分布——本质相同。而在卫星通讯、量子编码、数据压缩等领域，高维空间的“最优分布”也是实际工程问题的数学演变。
除此之外，接吻数问题还与数学中许多分支有着深度联系：从数论中的格子理论，到组合学中的球面码，再到数学物理中的对称性与群论……接吻数问题像是一个十字路口，连通了多个数学世界。
更有趣的是，它正在成为人工智能时代的新挑战。AlphaEvolve能够在11维中找到新的突破，这一成果标志着一些数学猜想的验证，或许正在从纯粹人脑逐步过渡到“人机共建”的未来。
