给定条件 \(x \cdot y = xy\) 并且 \(x > 0, y > 0\)，我们实际上是在寻找两个正数乘积的最小值，其中这两个数的乘积等于它们自身的乘积，这实际上是所有正实数对的乘积。

但是，问题中的表述似乎有些不清晰。如果我们按照标准理解来解题，即找到满足 \(x \cdot y = k\)（这里 \(k\) 是一个常数）的条件下，\(x \cdot y\) 的最小值，那么由于 \(x \cdot y\) 已经被定义为 \(k\)，其值是固定的，所以没有所谓的“最小值”变化范围，\(x \cdot y\) 的值就是 \(k\)。

如果意图是询问在 \(x>0, y>0\) 条件下，\(xy\) 可以取得的最小值，那么考虑到 \(x\) 和 \(y\) 都是正数，\(xy\) 的最小理论值趋近于但不等于 0（当 \(x\) 或 \(y\) 趋向于 0 时）。然而，在实际情况中，由于 \(x > 0\) 和 \(y > 0\)，\(xy\) 的值不能真正达到 0。

但如果考虑的是在特定约束下的最小值，比如在某些固定条件下的最小值，我们需要更多的信息来具体分析。基于题目给出的信息，如果没有其他限制条件，\(xy\) 的值可以无限接近于 0 但不会达到 0，同时可以取任意正值。因此，没有一个确定的最小值，除非有额外的条件限制。