为了帮助您找到 \(z = 3x + y\) 的最小值，我需要知道具体的约束条件。约束条件可以是线性方程或不等式，它们定义了 \(x\) 和 \(y\) 可以取值的范围。没有这些信息，我们无法确定 \(z\) 的最小值。

如果您能提供关于 \(x\) 和 \(y\) 的具体约束条件，例如 \(x + y \leq 10\), \(x \geq 0\), \(y \geq 0\) 等，我可以帮您进一步分析如何找到 \(z = 3x + y\) 的最小值。